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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律  oFJr  
tTwF248  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. +~{BIan  
x @{I M"}d  
　　1、三角函数本质： &-y\PNIZ  
\=o{?j;e  
　　三角函数的本质来源于定义 Eg11,]  
XE ??[ a  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 LED_o  
hpj-841  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 PeyMh`!,\  
\5j>o]?36  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 2+;oz+^2  
~rlD7 a@m  
　　推导： fwo-rk#4>  
F`M$0WwL  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 131?N;W;8  
4 k ?H|  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Vg6<'a` n  
2 ZkzH7  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) KC(*nZMoh  
l|'Oo(^  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 0JLe>)ots  
_+W}^Z  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） X5'~[~XN-H  
UFa.4%l:f  
　　[1] fDzLN1OZ  
[.os;'t9  
　　两角和公式 |"1h#22  
*5<q"Jy;m1  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB :Ulrb}T<  
h)tsP`j  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  x@}s1xU@  
.:L 8H   
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Rh4Tg$  
z*>W ET\  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 1bTd [`9  
R3U`{"  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) \ngZ3:.o  
\W2}w`Jxb  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) U -viy{G[  
[P~XCm`  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  G-vD~2  
r&G$F# UE_  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) lW Kd*Rt46  
8X!T{-I$  
倍角公式 3=wS]N,L  
>6p06  
　　Sin2A=2SinA•CosA i6M\#  
E's8Hxh  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 *6nu-&=  
L=FjJ wIg  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） KUSFwyH)SH  
tW=V$s='  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） _5Rn9@q^0Q  
G`Fw$W  
三倍角公式 (_o;  
R)^kv-,%E  
　　 0}k9iO  
d5-w~[/Pg=  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) w.H,7jT8  
s0i8J  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) >p0Z.pK8  
TM~@+  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ,C;[+I_)AF  
nF04  
三倍角公式推导 hr;9-  
P :W^~Ev  
　　sin3a ~[g$ s;N  
wA : Q\I  
　　=sin(2a+a) r[L8 {  
IVWd7f^gS  
　　=sin2acosa+cos2asina GtIMx%i3]  
),48!+Lw  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,.WYI9zyR  
%{C,ME6  
　　=3sina-4sin³a r5Uc`*  
oJ!q433  
　　cos3a OrCK) h  
"#=}'>)Rj  
　　=cos(2a+a) >W@r(*<u  
n$4hny  
　　=cos2acosa-sin2asina +a($%jjv  
E{\ &[V9  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa tUdKMY`0  
w%*:<N;o  
　　=4cos³a-3cosa klFY9"  
j@_TJ>JR  
　　sin3a=3sina-4sin³a U Y5 Q(  
USL~ 3*czG  
　　=4sina(3/4-sin²a) j7=/"FwG=D  
"\2!@h"v|%  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] [7hr3  
)*Ah15)  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) (A%nT%rcZ  
![5k>SU  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) lMyR9PD'  
hk\ST#;"q[  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ]CIz>LO9I  
#a=\3lpaT  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cpYT 5  
igia9D P  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ([?,QR%;  
?^|XIFw.  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 9mSO!o}yU  
1;2G<Pkk  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 3b&@ 1.j>H  
'^P'E c  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ZAFh;Z  
j5\]=V.  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) +1M(<[  
eQ}zLHUw  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} a|N<-oD!  
2rB~7E 8s  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) (1Rk  
E5#>  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 8*-)nH  
]k>3<2c  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] M,7*Kl  
8<]0*j.  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |!ZT W\  
i60.U,G  
　　上述两式相比可得 LKt$b.W;"  
|. 7l;'/%?  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Eadsot  
U V9b P  
半角公式 Z ~MGE  
n3|pl`v 5  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); X_jKZ5-ZB  
HKz34^&  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. MbKV9y  
|?!}/ V  
和差化积 !)W5sP  
(-a\07UCV  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] [n_zhlS5  
Ao\]|{< )  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] g@)>._n  
\3GLn^7FG^  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] lAL~w M.]  
7AOh Xn  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1M]@t"J  
}DVCT'E@6  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) )U~+N0yv  
[=.|i ,  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) mwG;ri)/  
P!0qa  
积化和差 \Fo#OI7  
cKC\/'+w%  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ~ `7egg  
oN]\~u]5  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] X([-boh  
gi1#5@R  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 'b:LBg  
rLp_~-|EX  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 6HT$)Adr  
emsOO3Rb  
诱导公式 ov+nWYW5  
!H+L c1;  
　　sin(-α) = -sinα o+Q`d0.i-  
7A*m.P`txs  
　　cos(-α) = cosα `SIbV:6K  
PL=# 86  
　　sin(π/2-α) = cosα x9 =2 g:"  
a=vZ4}}_(  
　　cos(π/2-α) = sinα "iQx1-zm  
Xg7q U$  
　　sin(π/2+α) = cosα J C607{  
|-G,2Z#G=r  
　　cos(π/2+α) = -sinα ^T}N~nc  
g,"1  
　　sin(π-α) = sinα PBRCS7U`'  
qdZ 1Ao  
　　cos(π-α) = -cosα Un8#"zd-%  
Y~3k!!*  
　　sin(π+α) = -sinα v%$KLrZ  
Xlv/93:5  
　　cos(π+α) = -cosα 9tecRPJ"  
tu*=G  r}  
　　tanA= sinA/cosA hWRH"N2  
DTjk9#e  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 2Y96Q  
R-aJ7]$  
　　tan（π/2－α）＝cotα sE0vR=  
HnRfYQ  
　　tan（π－α）＝－tanα afp,C<X  
5O.wt(  
　　tan（π＋α）＝tanα &!lThYl8  
czqp]b0g  
万能公式 mBt.++,3  
 t*:Y  
　　 ;h'5p{  
,&<`RzL?Ms  
其它公式 C?ECVV  
1r#BbZP|S  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Cih7cTt+\)  
~Mu:l{%B  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 N_ntR4  
N/`PQ6  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 sd( de S7  
T' wJxyr{  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ae>\W0  
57-38na  
　　对于任意非直角三角形,总有 -&l MoY  
bhTqLx6  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC #:-KW,De  
_Sc%#L@l  
　　证: FG /t%k  
\HQgwf v  
　　A+B=π-C lsf`>3V  
AYB c8;P  
　　tan(A+B)=tan(π-C) m_CD/6O  
+lY;dzy  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Oz+&%=<+  
k$`,(-|r`  
　　整理可得  M{ :]%~e  
xR*iF<$  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M@%EU%>Vk6  
cRTdM'~s^1  
　　得证 +F1R D  
KlnV>Bb r  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 WKP@l\  
w/Ps_5zm  
其他非重点三角函数 ag Kjoid  
"-w6f  
　　csc(a) = 1/sin(a) Yl(x  
*g kMmB=  
　　sec(a) = 1/cos(a) ~r1qo3x7  
dh+CE{D  
　　 ;;XbBjF*@,  
ly, @"p  
双曲函数 QO@t^\Ae  
".z!-s?/vs  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 6q1.;N  
S4tJf<]6|  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 A[H~k(  
C] g~\D  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) '!GxUF  
r`a0X<RU/  
　　公式一： #Pz8l=X/  
5?fU-TIk  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： V!!j*j?;R`  
-B1l<sG.  
　　sin（2kπ＋α）= sinα }0]VV.  
gG -ReEG  
　　cos（2kπ＋α）= cosα P (+^Ac>  
9 :$UT3fq  
　　tan（kπ＋α）= tanα ShwY!g{ZD  
R;`e]~k%  
　　cot（kπ＋α）= cotα wopMYx"m7  
)ZN'LF  
　　公式二： "'fWF53?yz  
AqO9&Dk  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： h[ BBe9  
CtZ5L\K  
　　sin（π＋α）= -sinα >}Xs$MJ=0  
PKhN2 *V  
　　cos（π＋α）= -cosα {PT-V-A  
p233J  
　　tan（π＋α）= tanα 94AM ^  
`O T8~K  
　　cot（π＋α）= cotα "XX>wU|a"  
Sa~Rg5  
　　公式三： b7_I\ `  
wdAW  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： }=!q!]1!.  
"o!8sCRB  
　　sin（-α）= -sinα  8l,VIb  
@='5#`o  
　　cos（-α）= cosα 8)q9S'}v*  
kS7Rk  
　　tan（-α）= -tanα 8qE=lRVd  
 >b4)W8  
　　cot（-α）= -cotα AlUu!V5N  
>1EoWY(s  
　　公式四： 66UXZ8  
]1cv`Zo  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： , ZOnmUjB  
#c>67Wf  
　　sin（π-α）= sinα PcG!+JgIvv  
b$,]t; )m  
　　cos（π-α）= -cosα >QYAqnpVd  
+\=L  
　　tan（π-α）= -tanα )Nn{3xu5  
h&c+cCym(  
　　cot（π-α）= -cotα Ry/fHvk  
G:w4B9y  
　　公式五： #=$ V$Tp  
qX.?'#:E  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： =c]Z?nqk  
MffE= @  
　　sin（2π-α）= -sinα )t4[p\ KB/  
p@1V6Oj  
　　cos（2π-α）= cosα N'rj0}vd&  
oi9jWMa"  
　　tan（2π-α）= -tanα .`J#7"%  
* bi#  
　　cot（2π-α）= -cotα * Q'# =u  
^TC[MXM  
　　公式六： @ZG"Ql  
6HBl|31EA  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： j08|cVK&M  
c<-^I $2  
　　sin（π/2+α）= cosα *r"1/I0'>  
OA\{&   
　　cos（π/2+α）= -sinα znyVe`O  
^o<K?( d}  
　　tan（π/2+α）= -cotα \G03;|5yc  
x} dS04(6C  
　　cot（π/2+α）= -tanα <]F,X4o5`  
KO6Ha .[  
　　sin（π/2-α）= cosα !1&p.$FJ  
DD%2L]{pZu  
　　cos（π/2-α）= sinα HRSA|JN9  
KS%,g6  
　　tan（π/2-α）= cotα <b!,6O*  
&C+W@  
　　cot（π/2-α）= tanα oEx[{5qj  
K1>">Z+!Ip  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Mj(m5N  
6B=4!6(  
　　cos（3π/2+α）= sinα gMi akjeY|  
,LZ2WR/8  
　　tan（3π/2+α）= -cotα txK:B@  
{,:9?YP%  
　　cot（3π/2+α）= -tanα nHy"!W]P  
^@@g>a/c{;  
　　sin（3π/2-α）= -cosα w\s! *   
 [^b=p=b  
　　cos（3π/2-α）= -sinα U ^@E7"+  
/Z+};~=  
　　tan（3π/2-α）= cotα 4o_QqLS2e  
dX^E{<TgDm  
　　cot（3π/2-α）= tanα 23>BbsX+#2  
P>B9vbC7  
　　(以上k∈Z) !, os,*o  
)) D;mJy  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 GzkQf`!N  
A?6Ry3  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = -eBd5`BfE  
6U)H/_e\  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } X`&C:U  
u ^P*J\CN  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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