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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 pPpX} u(  
Tpv6=:@V  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. *7i<s{ E%_  
m+C {   
　　1、三角函数本质： xOYy3|p  
,V{Ytiz7jN  
　　三角函数的本质来源于定义 ZR0CON:  
|R/D?!;Fy  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 C:b=6#u  
3(c9D_dsf  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 L6s8Y[V  
C> NNX  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： iMo1AJZfT  
a;WoAba<  
　　推导： +c;s>v&  
F8{z_1y 9  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 /4-GS.:  
._ {QD{  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ~_UP/NKNx  
BPh;7N(O  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ~ 7j`s  
M:A7.y Ap  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 $W}R}9[w*v  
G 3mHq '  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） B"]\Ih7{A  
@X{k%  
　　[1] kU*#aw^Fx  
]=J7{C 2  
　　两角和公式 F@\iSE  
oTz_U0EY  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB m0(T<|3U\  
^jNy$:5d  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  MMbQZA}i  
tJ^R+ FQ%S  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB bXLex-*_I  
[b\FoSa87  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 33slM}U/  
p\JR7czxG  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) io=~/t*}L  
9[jK+} H  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) G=;fb b  
@1B AC.I.!  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  hP\l)5D  
m[*90%O3C  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) d0Z\0q[/N  
':]It3  
倍角公式 |X3y8 C  
g=JVy  
　　Sin2A=2SinA•CosA r1q1raK  
g}~I,&4O  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 {"=n~R=T  
5R O\XI  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） \J6=c]~S  
\Lfj\E&  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） CV=CU. !:L  
4(Yc+:}wf  
三倍角公式 q1LUxS/  
x-7[L+GJv)  
　　 lX9P|2SOBm  
=q^,$ 4qyF  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ?XCn(4f#s  
mEQZ:0!A  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) & fS|Q  
~_ lAl^  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) {<u^-+S'6  
~eW:l?ZM7  
三倍角公式推导 zv/1S|3  
X3xe5  
　　sin3a Agj=ng/  
w0@.w c  
　　=sin(2a+a) ;|*Gv"LC  
*f&b _xa.h  
　　=sin2acosa+cos2asina &$~ `1'F  
Pr2e-2W|  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina {u[o Kkv Q  
)Dw9 @I  
　　=3sina-4sin³a uqaw+ p%  
-QBxgVP  
　　cos3a `5( 7`x(3|  
d#R_C8[q  
　　=cos(2a+a) ;k R1_u'  
@c,U/Zf  
　　=cos2acosa-sin2asina >C#%'}qBZ  
TLj[OAr  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa {~lZUO*]o  
 I> N?  
　　=4cos³a-3cosa |!1Kk$%  
~i4zOx  
　　sin3a=3sina-4sin³a .i{shRbwT  
Fpbo,(RC  
　　=4sina(3/4-sin²a) &"k~sPC  
i$8^hNm6  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] \67Y e  
g7k 1NY K5  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ,yt 8D?  
.ig3EQnvd  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) cdEW4,1qC  
dU?^r  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] >+RT5~  
`$i/=  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) :7elSRB1  
e^[v+<c:H  
　　cos3a=4cos³a-3cosa w1-HOu7dF  
q:+k4EY  
　　=4cosa(cos²a-3/4) !&5|;&F  
 7$(OFa  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] _v `DXt  
3.9 k:PmG  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°)  V0ttW@  
M$sG<.H  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) h4w>dO?3w  
3THXm[  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} M</$u;pR8  
G@kitEhx  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) xJ}Q`P~q  
zLW-kNw  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Jl6J0{D  
mXcl+*Rtg  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] / +>'FkEV  
eo]pcc8Z3  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) hw]lf  
1, @i'9<  
　　上述两式相比可得  a=u$wL@<  
$'yI.~ U  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) G):rt;L  
8%g>8$F-<A  
半角公式  +OU3#:  
bZZW  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); >w@'CEamDI  
\js JM  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. aE6ZUq  
\S6wt\wT  
和差化积 mAU),zAT  
{2]/   
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $I8.2$lz  
`=u 0_+"U  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] x.P}]-!  
|K' {M3-Y?  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jae%EYGub  
7|WoKkJoV^  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] PM{]'?  
qy@A|9N3}  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 6:/- 1  
gbTR l6t  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) APU  
=$|&.s`<  
积化和差 XEYsL2&  
>"bU?+Be  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] /(.%MU@$  
hs>RAl>%I  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] LSS @.E  
E&K)pXJY  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] p=%cnm&  
9S*Wu2  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Ze2/j  
bns'< i;E  
诱导公式 zn;Ckr  
H"S!=%7S  
　　sin(-α) = -sinα Xwd^3m '$  
vdTFVmf  
　　cos(-α) = cosα `_naM  
x6%(=*)+`  
　　sin(π/2-α) = cosα T#%f0u}g  
AeG.(m1  
　　cos(π/2-α) = sinα x!mC8  
Zt9xO!j  
　　sin(π/2+α) = cosα g)N&(?,XbD  
uJBuQdT@?  
　　cos(π/2+α) = -sinα !qS5 z43  
Qd]7_+8e  
　　sin(π-α) = sinα 0j0Jpda: m  
[cG3_ %AA  
　　cos(π-α) = -cosα +6#{F8m  
T!- bC8  
　　sin(π+α) = -sinα -<[O>)BP7  
-HM_M7  
　　cos(π+α) = -cosα <Mq"8Ttf  
^%akm@Kuv  
　　tanA= sinA/cosA 20d:'kHVsk  
~6q#YN{3Dx  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Df$=$e'o  
Hx6@BPzag  
　　tan（π/2－α）＝cotα Il+ns>[  
' 1v?  
　　tan（π－α）＝－tanα h9BHp T  
jN):a^xh)  
　　tan（π＋α）＝tanα vli]ih(  
2^jH.1DL  
万能公式 v -N Tx %  
`YVZ)t!\y  
　　 g/ >[o]  
-.5~kKNp  
其它公式 $$B_b_-  
/JpMQ5@k  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 yIC:1NscW  
*Sgq:*ew  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 C#J,fy>u  
(5( ) $6.~  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 4L5*r s*dp  
&47kF<  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Y/~PS2#R  
3%jZ_0:  
　　对于任意非直角三角形,总有 v.F%<i$a  
]Tcrn7k  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (yn~!+M%  
dP(i?h*  
　　证: MO]lI r  
_~nrU.Ue^  
　　A+B=π-C 6 'rOZ  
C[dU??nHf  
　　tan(A+B)=tan(π-C) X[cWi#b^m  
.7(6V!A)*  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) >={$MNk  
ToYO%NA  
　　整理可得 *$ZZj` J  
KmKQBD?  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Velv-  
Q:y]I T  
　　得证 IQ;~<oa \  
#J'xCbJ  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 c-,+\QC^k+  
&}wE3:&<  
其他非重点三角函数 ;}U`{NY3 l  
:zOQI[  
　　csc(a) = 1/sin(a) s0"x/Vi  
~>z^7p  
　　sec(a) = 1/cos(a) ja6qI`&g@  
UzIk"pv 1  
　　 /m+u 6&  
._ARaa)  
双曲函数 c<+v5F+3W  
0.6]dzIUQ  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 $p|tqbwr  
@^ '  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 db@76"r9Z  
:=@)>  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) x)%O]?s/)  
mfJT;3  
　　公式一： bHE,v-Tf  
[6O)WI#  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： |kysA.Y.  
P1kMPb1g$  
　　sin（2kπ＋α）= sinα FE~u"6F+  
iXB!l7o:  
　　cos（2kπ＋α）= cosα e>|3US(  
D.p >E>ri  
　　tan（kπ＋α）= tanα ^,dw6uc  
cvvUMg  
　　cot（kπ＋α）= cotα I<++G:./  
=d|3 w5!  
　　公式二： v~84'5`]="  
n{Rrf `  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： AIf*k  
@B\GC=2  
　　sin（π＋α）= -sinα TO;;0Uxr  
;%I,)d3u  
　　cos（π＋α）= -cosα fJ}@ ##(  
vbqJD42  
　　tan（π＋α）= tanα l%> EkX@h  
l*`a83#q  
　　cot（π＋α）= cotα 3'v<AI M  
D}n,^x?  
　　公式三： ` {';C 7o  
Spl o |f  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：  1q`<B  
#p5`x DY{(  
　　sin（-α）= -sinα 8fYf{.:F?  
` [liLb  
　　cos（-α）= cosα xrbt{!@_e  
d&RK,T}c  
　　tan（-α）= -tanα }XgTm^9  
mlSutVDVN  
　　cot（-α）= -cotα KgaC'}=w  
S\7.w6vY  
　　公式四： q@D3*D  
<m@N,W}h  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： =L_w:YuD6  
w mx3   
　　sin（π-α）= sinα _|Bp9wI  
:# O z,A  
　　cos（π-α）= -cosα h*$ZG Oz  
t=bn\-2~  
　　tan（π-α）= -tanα r-|Nu-g  
kr|/> !!~4  
　　cot（π-α）= -cotα  MDfX7.g  
sfa;:~UT  
　　公式五： 5$Mzt$zD  
]P]a/zSF/  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： h!y +VJ  
|?5 A7Q  
　　sin（2π-α）= -sinα &m{fdz"#~  
k[0v#vDj  
　　cos（2π-α）= cosα `gry|`80  
Of)){P  
　　tan（2π-α）= -tanα t({Id(.O  
FiB(Nyab  
　　cot（2π-α）= -cotα +n vvJr  
]1y8>2./  
　　公式六： @B<^ANSo  
s$Af6ED\  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： o2Z<RD-L  
vc&FW?'  
　　sin（π/2+α）= cosα f<B hY9 wp  
1-%}8t]eVy  
　　cos（π/2+α）= -sinα [3|ZU'Jw  
CqG9   
　　tan（π/2+α）= -cotα 87z@&n,fB  
7,eOI73  
　　cot（π/2+α）= -tanα Iah0h4yf9  
C@E|.iS  
　　sin（π/2-α）= cosα %3M'9FZ9  
^h1UjM ?tg  
　　cos（π/2-α）= sinα D^:" !LR  
BF!MA(C?f0  
　　tan（π/2-α）= cotα :bR=^|$  
Mc}>Y'-}O  
　　cot（π/2-α）= tanα p PT_?  
>.^3"!9,]  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 6r$t O)zt  
_lDbr3  
　　cos（3π/2+α）= sinα r8N[f2Ms  
}p'V$yD  
　　tan（3π/2+α）= -cotα T!?I9)e  
ujR .&N  
　　cot（3π/2+α）= -tanα eSP;U_  
! B;j7miCa  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 6 YXuZ`y\#  
>P8`(nD  
　　cos（3π/2-α）= -sinα dC 7c{RT  
>G6@|3s x4  
　　tan（3π/2-α）= cotα x]1]=n c  
_aR<"?I2L  
　　cot（3π/2-α）= tanα C/@=8[m  
(;#;nNz&v  
　　(以上k∈Z) vU0B\ijz  
_%7S `d  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Eij)+gd  
j*J W7M_  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = IqX{qEmh  
LDFJ.?s  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } h7v<c[--  
'D uX t:0  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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