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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 "%hV1d=  
e1EM~@iy\Q  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. PXR d:#S  
7RS,s  
　　1、三角函数本质： 2Y0OX?  
;^G:\|a  
　　三角函数的本质来源于定义 )I'Cpg  
j>4&$E +  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 )^L%Oi$  
3q)-(W@!  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ~M: M]H=0  
IbT x BA  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： tbe]dJLO  
!"h'HJ"9h  
　　推导： 7: *[  
X9t>aywt<  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 +7Q)Qo1d[_  
M:?=7^9]dX  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) & g[Svbf|  
KHoCV+.^  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) F1yfRd~$i  
/`y`]FZ  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 k**iPL  
<@j~'<mSX  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ^U41Heql(  
Cj7qV:K  
　　[1] n<dH35s  
op<+(C*J\  
　　两角和公式 7yDpb%u'/  
C?UgD_d}Z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB KY^^Lc  
_O~uNlX_  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  JX`-*k  
B}qel  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB jaX{-s/9  
K3hP^kkC 8  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB S@b:,EL  
0ZX.;7A  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) qHnX_UB  
G5fQWu{R  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) KSh;QV_  
ij[r3EH%  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  dxPo~b!4  
Qgg[COj  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) K3RXJ#3J  
Z<StE42  
倍角公式 e|13;h;  
>l/o)mB  
　　Sin2A=2SinA•CosA !8y8x 4i  
$wL5M  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 4.,{8~|  
q*(Z[a.5  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） !xGCZ&pQ-5  
L@_ _n?%  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） JA@2VYiqnu  
Dv' ecON  
三倍角公式 Ipof3eQ;f  
x^}@   
　　 =%@ +)y  
['AuL.K[N  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) -BEit|Ma  
Y{W Gqch  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) a.$}u $&  
9 RdIJ!7_'  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) "T}X=\%]  
@yZ]I K6  
三倍角公式推导 9):OxY$  
6b3a?`c^ZX  
　　sin3a S.:-r8p99  
%|O1(8TY  
　　=sin(2a+a) e~pT0P  
qp`mp,|q  
　　=sin2acosa+cos2asina E6!a_/  
TfC`$&a  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Tn_E )_  
\$ !wF$49  
　　=3sina-4sin³a :EL}byT  
m&F8UM  
　　cos3a eesWuI  
r0~`cNs^  
　　=cos(2a+a) 0By;QUl't  
#jK<g^)q  
　　=cos2acosa-sin2asina w?!2^7  
 xA+Z+  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa wV^u,s  
\5&}h7YS  
　　=4cos³a-3cosa iX>7f "O<  
s]ZlJg.p  
　　sin3a=3sina-4sin³a \QA3x c_  
xTm#l4aHY  
　　=4sina(3/4-sin²a) awpCeS C  
lmtps4?  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] '# :g  
KjY0c[H  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 59_^k?  
 Js8 1*  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) iP Q27OW[J  
bZ&$q@#w  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Z|AVZuN  
wcR I^pc#  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) xk6<[+G7  
#[I}nbw  
　　cos3a=4cos³a-3cosa , Psskc  
gu)E>y?  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 1+ZuKgZ  
=^~jdy*JV  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 4e'1E3dj  
rE)dF)n  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) +WbJ"BhK+W  
V! r-c>  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 'FI  
y #\kuSq  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} a`c>3  
SF_:hJ(  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ! dq^<YH  
etQ9m]C4  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] A.t4(KW  
@q:) kz(@  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] `-R;4Jl  
`TaRNe  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) %K >yK|nQ  
q6}JV&]=  
　　上述两式相比可得 V8"UfsecTK  
y4|prF <v  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) j1b5XgY:  
3d:6sY  
半角公式 x9&lX/y  
Y$3Rqc)\  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); y<k.tnh  
V$ w_ ];  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.  -G0MatY  
VL/;1KXZ  
和差化积 zW ~dy[  
O73IPCy  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?.5)O|J H  
t?W56rL8/  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] LY6(1tn  
h`z@  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jIy)EM  
3>l SY!A  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] R5 ! 'iD(  
,=2x5UlLX  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) rrdHeO~~dl  
SXn%W%z`1  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ]lQM6'F2z8  
+@^q&$C?  
积化和差 F/L$#4::  
/^iUE 7u  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] qM[GiCV 6  
e 9D^=Y  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] {{GJ;Zo  
O,2ZbQ&  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] c0s(15`L  
JJ&fxlb  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] &mjX<3-GUe  
u2dYXlO  
诱导公式 xyd#   
yw&oc0sf$  
　　sin(-α) = -sinα N.`I8rip  
l"u%{o3`l  
　　cos(-α) = cosα {/T>*H?F  
eUI4@gD\|  
　　sin(π/2-α) = cosα ')!+U'2V|  
J.dI$: k  
　　cos(π/2-α) = sinα qk+BrwyU  
3` xt56YM  
　　sin(π/2+α) = cosα .HP$Q<A!//  
G[r^vt 4  
　　cos(π/2+α) = -sinα y!yjWy  
m^c&6)<BB  
　　sin(π-α) = sinα ylUIB}|]  
B$W#U/a6  
　　cos(π-α) = -cosα 9oFQ/{g  
0N=MnR  
　　sin(π+α) = -sinα D"WOVq16K  
eI[.FXP  
　　cos(π+α) = -cosα Vkwap-@  
/<N9FVo #  
　　tanA= sinA/cosA 1(Y7v  
qiit#A>  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα '#jSMAN  
itg0-[H  
　　tan（π/2－α）＝cotα ~Dzg3 6R  
[Nmh! E  
　　tan（π－α）＝－tanα h"-k/:b(9  
`;PMI>,H!v  
　　tan（π＋α）＝tanα w+e pTy)L  
<E a {*  
万能公式 1U]1G  
EP.lz4;T  
　　 2XM=W5%6  
;x\< *E1  
其它公式 bv-eVKr]  
2QhtsJ'9  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 cRsvg~_  
={1a}ecL  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 %T|)pJTvM  
V!O]I !Hq  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 5dC"R){,  
_2i^[a0s  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 + 5u| 5  
S8 \=S=F  
　　对于任意非直角三角形,总有 {BS=*xT|B  
oi*pKzkm  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC b$PhhY  
"AayK  
　　证: 3U*h  )b  
yQ*("d Z  
　　A+B=π-C 9L4p,+N  
y2`be~=0W  
　　tan(A+B)=tan(π-C) .FO=F MI  
`irat  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) oi`6yw1  
]$Ya:nF`  
　　整理可得 T#><S +H#  
y "bP{Z]  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC OkGS#"oD R  
h'i]m^G#I7  
　　得证 IGk~r3  
\-St8=ijm  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 X%;0y^L }  
-nzF,aYJ  
其他非重点三角函数 dMcjGdmm  
iz-HwU1  
　　csc(a) = 1/sin(a) cgHpf4y"K  
#5@ /@\  
　　sec(a) = 1/cos(a) :PD'.4{H  
2fR5c#SOt}  
　　 ?J VQ;$  
LDDgd  
双曲函数 o(i!o`:RU  
MjNi&`1P  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 x]Y " #  
(!k2Nn^  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 _L::F|]  
Q.t?|\2  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)  "skS<C_  
EHq: JzE(  
　　公式一： .nP#] w  
GCGYXxt  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： iR$>'_#o-  
.N}F)'  
　　sin（2kπ＋α）= sinα J+?2Ut  
D{0,(%)  
　　cos（2kπ＋α）= cosα eS {wT W!  
9.H|EB!W(  
　　tan（kπ＋α）= tanα \d @Tx  
dDUYBlxD  
　　cot（kπ＋α）= cotα )SAYr  
I2mF.U.Ed  
　　公式二： 7 i0^& $c  
QLFs8fjr!  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 5S)L3  
;< Es>`  
　　sin（π＋α）= -sinα .A@( 9n  
1cg^{X  
　　cos（π＋α）= -cosα Ud)$G/9  
V+:A .,=  
　　tan（π＋α）= tanα fKUcqGlS`  
)hn@lg  
　　cot（π＋α）= cotα fA(Q6{] 0/  
Ty^WK  
　　公式三： bl5|8812d#  
)\8rq>$l  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： /1GAeW O{  
e68kQ:i@LT  
　　sin（-α）= -sinα i ,ND>_  
p55u2NL|(  
　　cos（-α）= cosα IN80lq\},  
]azZ&#V2  
　　tan（-α）= -tanα EFa73  
;GSg{Xt  
　　cot（-α）= -cotα /::6nw)p}  
2tf5(%}o  
　　公式四： Z;Tq} mC  
1j~<r V}~L  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： DD2t-C#  
Wu'';@J1  
　　sin（π-α）= sinα >,='.C  
"mD5Yn\Fj  
　　cos（π-α）= -cosα R!8/20  
&)4SY]42*@  
　　tan（π-α）= -tanα yKht[5  
6N\9pD  
　　cot（π-α）= -cotα E %$G\<>  
<!qGWh H  
　　公式五： XCa#`P\M  
R- RMs up  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： K|" K4I3  
y_P eib%>  
　　sin（2π-α）= -sinα  __&}]Kr  
&H40 ;w6  
　　cos（2π-α）= cosα f[v)s<%4  
1Uu>;itC  
　　tan（2π-α）= -tanα P"}Q!qr-  
.K~U9 f  
　　cot（2π-α）= -cotα in6.5r  
Gy_iG}p:|  
　　公式六： $UhMe  
8!;|9a y|  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： W) >(*x  
>x>\D}$]  
　　sin（π/2+α）= cosα ox,W=3I?)  
`F1 ^YR7  
　　cos（π/2+α）= -sinα uW<ai}.  
sR*P.V/$  
　　tan（π/2+α）= -cotα L>JDIc%J  
:ipj y  
　　cot（π/2+α）= -tanα JB<p^$k  
Xkl&'  
　　sin（π/2-α）= cosα hd:d@Mr#  
Iz8jP &H\i  
　　cos（π/2-α）= sinα Umf@SUA  
fWwC l=16  
　　tan（π/2-α）= cotα 3pyME-I  
HmJ]PVJpk  
　　cot（π/2-α）= tanα Vu_.9][  
'*}{]v  
　　sin（3π/2+α）= -cosα )`S}* g  
T_Q63K2[  
　　cos（3π/2+α）= sinα i*iKbI  
fOO} !<U  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 9K._H5u  
:{ru}1bk  
　　cot（3π/2+α）= -tanα (y^Cr%L  
E?TFgL]  
　　sin（3π/2-α）= -cosα t9bmA]  
in?(+ye>l  
　　cos（3π/2-α）= -sinα j~K@tFkv  
,!a&Gp-:  
　　tan（3π/2-α）= cotα =E2 R3I6  
{4kMwn?  
　　cot（3π/2-α）= tanα nx2 )zN0]  
l &S|j  
　　(以上k∈Z) 4LljY0J%  
HCpE?k1E  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 +[OB=i  
%$7C\$-|3  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = r<8DD|&  
IH(N}%?:[  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 0n Ge'3  
Mg~Sk)o  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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